$\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$\sin\theta\cos\theta$ および $\tan\theta + \frac{1}{\tan\theta}$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$\sin\theta\cos\theta$ および $\tan\theta + \frac{1}{\tan\theta}$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ の両辺を2乗します。

$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2$

$\sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = \frac{1}{2}$

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ であることを利用すると、

$1 + 2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{2}$

$2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$

$\sin\theta\cos\theta = -\frac{1}{4}$

次に、$\tan\theta + \frac{1}{\tan\theta}$ を求めます。

$\tan\theta + \frac{1}{\tan\theta} = \tan\theta + \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} + \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta}$

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ であるので、

$\frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{1}{\sin\theta\cos\theta}$

$\sin\theta\cos\theta = -\frac{1}{4}$ であるので、

$\frac{1}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{1}{-\frac{1}{4}} = -4$

よって、$\tan\theta + \frac{1}{\tan\theta} = -4$

3. 最終的な答え

$\sin\theta\cos\theta = -\frac{1}{4}$

$\tan\theta + \frac{1}{\tan\theta} = -4$