2次関数 $y = x^2 + 2ax + b$ のグラフが点 $(2, 5)$ を通り、頂点の $x$ 座標が $1$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + 2ax + b$ のグラフが点 $(2, 5)$ を通り、頂点の $x$ 座標が $1$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = x^2 + 2ax + b = (x + a)^2 - a^2 + b$

頂点の座標は $(-a, -a^2 + b)$ であり、頂点の $x$ 座標が $1$ であることから、

$-a = 1$

よって

$a = -1$

グラフが点 $(2, 5)$ を通ることから、$x = 2$, $y = 5$ を代入する。

$5 = 2^2 + 2a(2) + b$

$5 = 4 + 4a + b$

$a = -1$ を代入すると

$5 = 4 + 4(-1) + b$

$5 = 4 - 4 + b$

$5 = b$

よって

$b = 5$

3. 最終的な答え

$a = -1$

$b = 5$