極限 $\lim_{x \to \infty} \log_4 \frac{2x+1}{x}$ を計算し、その値を求めよ。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to \infty} \log_4 \frac{2x+1}{x}$ を計算し、その値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{2x+1}{x}$ を変形する。

$\frac{2x+1}{x} = 2 + \frac{1}{x}$

したがって、極限は

$\lim_{x \to \infty} \log_4 \left(2 + \frac{1}{x}\right)$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$ であるから、

$\lim_{x \to \infty} \left(2 + \frac{1}{x}\right) = 2$

よって、

$\lim_{x \to \infty} \log_4 \left(2 + \frac{1}{x}\right) = \log_4 2$

底の変換公式を使って、$\log_4 2$ を計算する。

$\log_4 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 4}$

$\log_2 2 = 1$ であり、$\log_2 4 = \log_2 2^2 = 2$ であるから、

$\log_4 2 = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$