数列 $1(n+1), 2n, 3(n-1), \dots, (n-1)3, n2$ の和を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $1(n+1), 2n, 3(n-1), \dots, (n-1)3, n2$ の和を求める問題です。

2. 解き方の手順

数列の一般項 $a_k$ は $a_k = k(n+2-k)$ と表せます。したがって、求める和は

$$\sum_{k=1}^n k(n+2-k) = \sum_{k=1}^n (kn + 2k - k^2) = \sum_{k=1}^n kn + \sum_{k=1}^n 2k - \sum_{k=1}^n k^2$$

と表せます。ここで、

$$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$$

$$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

であることから、

$$\sum_{k=1}^n kn = n \sum_{k=1}^n k = n\frac{n(n+1)}{2} = \frac{n^2(n+1)}{2}$$

$$\sum_{k=1}^n 2k = 2 \sum_{k=1}^n k = 2\frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$$

$$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

したがって、

$$\sum_{k=1}^n k(n+2-k) = \frac{n^2(n+1)}{2} + n(n+1) - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

$$= \frac{n(n+1)}{6}(3n + 6 - (2n+1)) = \frac{n(n+1)(n+5)}{6}$$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(n+5)}{6}$