$\lim_{x \to \infty} \{\log_2(4x+1) - \log_2(2x+1)\}$ を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} \{\log_2(4x+1) - \log_2(2x+1)\}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を使って、引き算を割り算に変換します。

$\log_a(b) - \log_a(c) = \log_a(\frac{b}{c})$

したがって、問題の式は次のようになります。

$\lim_{x \to \infty} \log_2(\frac{4x+1}{2x+1})$

次に、$\frac{4x+1}{2x+1}$ の $x \to \infty$ の極限を考えます。分子と分母を $x$ で割ると、

$\frac{4x+1}{2x+1} = \frac{4 + \frac{1}{x}}{2 + \frac{1}{x}}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$ なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{1}{x}}{2 + \frac{1}{x}} = \frac{4}{2} = 2$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \log_2(\frac{4x+1}{2x+1}) = \log_2(\lim_{x \to \infty} \frac{4x+1}{2x+1}) = \log_2(2)$

$\log_2(2) = 1$ なので、最終的な答えは1です。

3. 最終的な答え

1