A, A, B, C, D, E の6個の文字を横一列に並べる。 (1) 並べ方は全部で何通りあるか。 (2) Aが左端にないような並べ方は何通りあるか。 (3) Aが左端になく、かつ E が右端にないような並べ方は何通りあるか。

1. 問題の内容

A, A, B, C, D, E の6個の文字を横一列に並べる。

(1) 並べ方は全部で何通りあるか。

(2) Aが左端にないような並べ方は何通りあるか。

(3) Aが左端になく、かつ E が右端にないような並べ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 全体の並べ方

6個の文字のうち、Aが2つあるので、全体の並べ方は、同じものを含む順列の公式より、

$\frac{6!}{2!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 360$ 通り

(2) Aが左端に来る並べ方

左端が A である場合、残りの5つの文字(A, B, C, D, E)を並べることになる。

これは5つの文字の順列なので、5!通りとなる。

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ 通り。

A が左端に来ない並べ方は、全体の並べ方から A が左端に来る並べ方を引けばよい。

$360 - 120 = 240$ 通り

(3) A が左端になく、かつ E が右端にない並べ方

全体から A が左端に来る場合と E が右端に来る場合を引く。しかし、A が左端かつ E が右端に来る場合を二重で引いてしまっているので、それを足し戻す必要がある。

A が左端である場合: $5! = 120$ 通り

E が右端である場合: A, A, B, C, D の5つの文字を並べるので、 $\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$ 通り

A が左端でかつ E が右端である場合: A, B, C, D の4つの文字を並べるので、 $4! = 24$ 通り

求める場合の数は、

全体の並べ方 - (A が左端に来る場合 + E が右端に来る場合 - A が左端かつ E が右端に来る場合)

$360 - (120 + 60 - 24) = 360 - (180 - 24) = 360 - 156 = 204$ 通り

3. 最終的な答え

(1) 360通り

(2) 240通り

(3) 204通り