数列 $1 \cdot (n+1), 2 \cdot n, 3 \cdot (n-1), \dots, (n-1) \cdot 3, n \cdot 2$ の和を求める。

1. 問題の内容

数列 $1 \cdot (n+1), 2 \cdot n, 3 \cdot (n-1), \dots, (n-1) \cdot 3, n \cdot 2$ の和を求める。

2. 解き方の手順

数列の一般項を $a_k$ とすると、 $a_k = k(n+2-k)$ と表せる。したがって、求める和 $S$ は、

$S = \sum_{k=1}^{n} k(n+2-k) = \sum_{k=1}^{n} (kn+2k-k^2) = \sum_{k=1}^{n} kn + \sum_{k=1}^{n} 2k - \sum_{k=1}^{n} k^2$

ここで、$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ および $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ であることを用いる。

$S = n \sum_{k=1}^{n} k + 2 \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} k^2 = n \frac{n(n+1)}{2} + 2 \frac{n(n+1)}{2} - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$= \frac{n^2(n+1)}{2} + n(n+1) - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$= \frac{n(n+1)}{6} (3n + 6 - (2n+1))$

$= \frac{n(n+1)}{6} (3n+6-2n-1)$

$= \frac{n(n+1)(n+5)}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(n+5)}{6}$