$\int \frac{2x^2+7x+4}{x(x+1)^2} dx$ を計算せよ。

## 問題3

1. 問題の内容

$\int \frac{2x^2+7x+4}{x(x+1)^2} dx$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$\frac{2x^2+7x+4}{x(x+1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}$

両辺に $x(x+1)^2$ をかけると、

$2x^2+7x+4 = A(x+1)^2 + Bx(x+1) + Cx$

$2x^2+7x+4 = A(x^2+2x+1) + B(x^2+x) + Cx$

$2x^2+7x+4 = Ax^2+2Ax+A + Bx^2+Bx + Cx$

$2x^2+7x+4 = (A+B)x^2 + (2A+B+C)x + A$

係数を比較すると、

$A+B = 2$

$2A+B+C = 7$

$A = 4$

$A=4$ を $A+B = 2$ に代入すると、

$4+B = 2$

$B = -2$

$A=4$、 $B=-2$ を $2A+B+C = 7$ に代入すると、

$2(4) + (-2) + C = 7$

$8 - 2 + C = 7$

$6 + C = 7$

$C = 1$

したがって、

$\frac{2x^2+7x+4}{x(x+1)^2} = \frac{4}{x} - \frac{2}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^2}$

したがって、

$\int \frac{2x^2+7x+4}{x(x+1)^2} dx = \int \frac{4}{x} dx - \int \frac{2}{x+1} dx + \int \frac{1}{(x+1)^2} dx$

$= 4 \int \frac{1}{x} dx - 2 \int \frac{1}{x+1} dx + \int (x+1)^{-2} dx$

$= 4 \ln |x| - 2 \ln |x+1| + \frac{(x+1)^{-1}}{-1} + C$

$= 4 \ln |x| - 2 \ln |x+1| - \frac{1}{x+1} + C$

3. 最終的な答え

$4 \ln |x| - 2 \ln |x+1| - \frac{1}{x+1} + C$