与えられた不定積分 $\int \frac{2x^2+7x+4}{x(x+1)^2} dx$ を計算する。

## 問題の回答

1. 問題の内容

与えられた不定積分 $\int \frac{2x^2+7x+4}{x(x+1)^2} dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解する。

$$\frac{2x^2+7x+4}{x(x+1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}$$

両辺に $x(x+1)^2$ をかけると、

$$2x^2+7x+4 = A(x+1)^2 + Bx(x+1) + Cx$$

$$2x^2+7x+4 = A(x^2+2x+1) + B(x^2+x) + Cx$$

$$2x^2+7x+4 = (A+B)x^2 + (2A+B+C)x + A$$

係数を比較すると、

\begin{align*}

A+B &= 2 \\

2A+B+C &= 7 \\

A &= 4

\end{align*}

$A=4$ を $A+B=2$ に代入すると、$4+B=2$ より $B = -2$.

$A=4$ と $B=-2$ を $2A+B+C=7$ に代入すると、$2(4)+(-2)+C=7$ より $8-2+C=7$, よって $C=1$.

したがって、

$$\frac{2x^2+7x+4}{x(x+1)^2} = \frac{4}{x} - \frac{2}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^2}$$

積分すると、

$$\int \frac{2x^2+7x+4}{x(x+1)^2} dx = \int \left(\frac{4}{x} - \frac{2}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^2}\right) dx$$

$$= 4\int \frac{1}{x} dx - 2\int \frac{1}{x+1} dx + \int \frac{1}{(x+1)^2} dx$$

$$= 4\ln|x| - 2\ln|x+1| - \frac{1}{x+1} + C$$

3. 最終的な答え

$$4\ln|x| - 2\ln|x+1| - \frac{1}{x+1} + C$$