次の極限を求める問題です。 $\lim_{n \to \infty} \{\sqrt{n(n+1)} - n\}$

1. 問題の内容

次の極限を求める問題です。

$\lim_{n \to \infty} \{\sqrt{n(n+1)} - n\}$

2. 解き方の手順

$\sqrt{n(n+1)} - n$ を有理化します。

$\sqrt{n(n+1)} + n$ を分子と分母にかけます。

$\sqrt{n(n+1)} - n = \frac{(\sqrt{n(n+1)} - n)(\sqrt{n(n+1)} + n)}{\sqrt{n(n+1)} + n}$

$= \frac{n(n+1) - n^2}{\sqrt{n(n+1)} + n}$

$= \frac{n^2 + n - n^2}{\sqrt{n(n+1)} + n}$

$= \frac{n}{\sqrt{n(n+1)} + n}$

分子と分母を $n$ で割ります。

$= \frac{1}{\sqrt{\frac{n(n+1)}{n^2}} + 1}$

$= \frac{1}{\sqrt{\frac{n^2+n}{n^2}} + 1}$

$= \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1}$

$n \to \infty$ のとき $\frac{1}{n} \to 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1} + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$