次の極限を求める問題です。 $\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}$

1. 問題の内容

次の極限を求める問題です。

$\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}$

2. 解き方の手順

まず、$y = (1+x)^{\frac{1}{x}}$ とおきます。

両辺の自然対数を取ると、

$\ln y = \ln (1+x)^{\frac{1}{x}} = \frac{1}{x} \ln (1+x)$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{\ln (1+x)}{x}$

ここで、$\lim_{x \to 0} \ln(1+x) = \ln(1) = 0$ および $\lim_{x \to 0} x = 0$ であるため、ロピタルの定理が適用できます。

分子と分母をそれぞれ微分すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1+x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1+x} = \frac{1}{1+0} = 1$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \ln y = 1$

$\lim_{x \to 0} y = e^1 = e$

3. 最終的な答え

$e$