不定積分 $\int \frac{x+1}{x(x^2+1)} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{x+1}{x(x^2+1)} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$\frac{x+1}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$ と置きます。

両辺に $x(x^2+1)$ を掛けると、

$x+1 = A(x^2+1) + (Bx+C)x = Ax^2+A + Bx^2 + Cx = (A+B)x^2 + Cx + A$

係数を比較すると、

$A+B = 0$

$C = 1$

$A = 1$

これらを解くと、$A=1$, $B=-1$, $C=1$ となります。

したがって、

$\frac{x+1}{x(x^2+1)} = \frac{1}{x} + \frac{-x+1}{x^2+1} = \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+1} + \frac{1}{x^2+1}$

不定積分を計算します。

$\int \frac{x+1}{x(x^2+1)} dx = \int (\frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+1} + \frac{1}{x^2+1}) dx = \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{x}{x^2+1} dx + \int \frac{1}{x^2+1} dx$

$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C_1$

$u = x^2+1$ とすると $du = 2x dx$ より $\int \frac{x}{x^2+1} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln|u| + C_2 = \frac{1}{2} \ln(x^2+1) + C_2$

$\int \frac{1}{x^2+1} dx = \arctan(x) + C_3$

したがって、

$\int \frac{x+1}{x(x^2+1)} dx = \ln|x| - \frac{1}{2} \ln(x^2+1) + \arctan(x) + C$

3. 最終的な答え

$\ln|x| - \frac{1}{2}\ln(x^2+1) + \arctan(x) + C$