与えられた極限 $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x}$ を計算する問題です。ここで、$\log$ は自然対数を表します。

1. 問題の内容

与えられた極限

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x}$

を計算する問題です。ここで、$\log$ は自然対数を表します。

2. 解き方の手順

この極限は、$x \to 0$ のとき $\frac{0}{0}$ の不定形になるため、ロピタルの定理を適用できます。ロピタルの定理は、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ が $\frac{0}{0}$ または $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形の場合、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ が成り立つというものです。

この問題では、$f(x) = \log(1+x)$ かつ $g(x) = x$ です。それぞれの導関数を計算すると、

$f'(x) = \frac{1}{1+x}$

$g'(x) = 1$

となります。したがって、ロピタルの定理を適用すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1+x}$

$x \to 0$ のとき、$1+x \to 1$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{1+x} = \frac{1}{1+0} = 1$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1$