与えられた三角関数の積分を計算します。具体的には、(3) $\int \cos(3x) \cos(x) dx$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた三角関数の積分を計算します。具体的には、(3) $\int \cos(3x) \cos(x) dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

三角関数の積を和に変換する公式 $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} (\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta))$ を利用します。

$\alpha = 3x$, $\beta = x$ とすると、

$$\cos(3x) \cos(x) = \frac{1}{2}(\cos(3x+x) + \cos(3x-x)) = \frac{1}{2}(\cos(4x) + \cos(2x)).$$

したがって、

$$\int \cos(3x) \cos(x) dx = \int \frac{1}{2}(\cos(4x) + \cos(2x)) dx = \frac{1}{2} \int (\cos(4x) + \cos(2x)) dx.$$

積分を計算します。

$$\frac{1}{2} \int (\cos(4x) + \cos(2x)) dx = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{4} \sin(4x) + \frac{1}{2} \sin(2x) \right) + C = \frac{1}{8} \sin(4x) + \frac{1}{4} \sin(2x) + C.$$

ここで、$C$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$\int \cos(3x) \cos(x) dx = \frac{1}{8} \sin(4x) + \frac{1}{4} \sin(2x) + C$