次の不定積分を求めます。 (1) $\int \sin(3x)\cos(2x) dx$ (2) $\int 2\sin^2(x) dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めます。

(1) $\int \sin(3x)\cos(2x) dx$

(2) $\int 2\sin^2(x) dx$

2. 解き方の手順

(1)

積和の公式 $\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$ を用います。

$A = 3x$, $B = 2x$ とすると、

$\sin(3x)\cos(2x) = \frac{1}{2}[\sin(3x+2x) + \sin(3x-2x)] = \frac{1}{2}[\sin(5x) + \sin(x)]$

したがって、

$\int \sin(3x)\cos(2x) dx = \int \frac{1}{2}[\sin(5x) + \sin(x)] dx$

$= \frac{1}{2}\int [\sin(5x) + \sin(x)] dx = \frac{1}{2} [\int \sin(5x) dx + \int \sin(x) dx]$

$\int \sin(5x) dx = -\frac{1}{5}\cos(5x) + C_1$

$\int \sin(x) dx = -\cos(x) + C_2$

よって、

$\int \sin(3x)\cos(2x) dx = \frac{1}{2} [-\frac{1}{5}\cos(5x) - \cos(x)] + C = -\frac{1}{10}\cos(5x) - \frac{1}{2}\cos(x) + C$

(2)

倍角の公式 $\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 1 - 2\sin^2(x)$ より $2\sin^2(x) = 1 - \cos(2x)$

$\int 2\sin^2(x) dx = \int (1 - \cos(2x)) dx = \int 1 dx - \int \cos(2x) dx$

$\int 1 dx = x + C_1$

$\int \cos(2x) dx = \frac{1}{2}\sin(2x) + C_2$

よって、

$\int 2\sin^2(x) dx = x - \frac{1}{2}\sin(2x) + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int \sin(3x)\cos(2x) dx = -\frac{1}{10}\cos(5x) - \frac{1}{2}\cos(x) + C$

(2) $\int 2\sin^2(x) dx = x - \frac{1}{2}\sin(2x) + C$