2次関数 $y = -2x^2 + 4x$ の $-2 \le x \le 3$ における最小値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -2x^2 + 4x$ の $-2 \le x \le 3$ における最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = -2x^2 + 4x = -2(x^2 - 2x)$

$y = -2(x^2 - 2x + 1 - 1) = -2((x-1)^2 - 1)$

$y = -2(x-1)^2 + 2$

この2次関数は上に凸な放物線であり、頂点の座標は $(1, 2)$ である。

次に、定義域 $-2 \le x \le 3$ における最小値を求める。

頂点の $x$ 座標である $x = 1$ は定義域に含まれる。

上に凸な放物線なので、$x$ が頂点から遠いほど $y$ の値は小さくなる。

定義域の端点である $x = -2$ と $x = 3$ について $y$ の値を計算する。

$x = -2$ のとき、$y = -2(-2)^2 + 4(-2) = -2(4) - 8 = -8 - 8 = -16$

$x = 3$ のとき、$y = -2(3)^2 + 4(3) = -2(9) + 12 = -18 + 12 = -6$

$x = -2$ のときの $y$ の値が最も小さいので、最小値は $-16$ である。

3. 最終的な答え

最小値: -16