$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1 - \sin^8 x}{1 - \sin x}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1 - \sin^8 x}{1 - \sin x}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

$a = \sin x$ と置くと、$x \to \frac{\pi}{2}$ のとき $a \to 1$ となるので、

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1 - \sin^8 x}{1 - \sin x} = \lim_{a \to 1} \frac{1 - a^8}{1 - a}$

と書き換えることができます。

分子を因数分解します。

$1 - a^8 = (1 - a)(1 + a + a^2 + a^3 + a^4 + a^5 + a^6 + a^7)$

したがって、

$\lim_{a \to 1} \frac{1 - a^8}{1 - a} = \lim_{a \to 1} \frac{(1 - a)(1 + a + a^2 + a^3 + a^4 + a^5 + a^6 + a^7)}{1 - a}$

$= \lim_{a \to 1} (1 + a + a^2 + a^3 + a^4 + a^5 + a^6 + a^7)$

$a \to 1$ なので、

$1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 8$

3. 最終的な答え

8