$\int \cos 3x \cos x \, dx$ を計算します。

## (3) の問題

1. 問題の内容

$\int \cos 3x \cos x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

積和の公式 $\cos A \cos B = \frac{1}{2} (\cos(A+B) + \cos(A-B))$ を用います。

$\cos 3x \cos x = \frac{1}{2} (\cos (3x+x) + \cos (3x-x)) = \frac{1}{2} (\cos 4x + \cos 2x)$

したがって、

$\int \cos 3x \cos x \, dx = \int \frac{1}{2} (\cos 4x + \cos 2x) \, dx = \frac{1}{2} \int (\cos 4x + \cos 2x) \, dx$

$= \frac{1}{2} \left( \int \cos 4x \, dx + \int \cos 2x \, dx \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{4} \sin 4x + \frac{1}{2} \sin 2x \right) + C$

$= \frac{1}{8} \sin 4x + \frac{1}{4} \sin 2x + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{8} \sin 4x + \frac{1}{4} \sin 2x + C$

## (4) の問題

1. 問題の内容

$\int \sin 4x \sin 3x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

積和の公式 $\sin A \sin B = \frac{1}{2} (\cos(A-B) - \cos(A+B))$ を用います。

$\sin 4x \sin 3x = \frac{1}{2} (\cos (4x-3x) - \cos (4x+3x)) = \frac{1}{2} (\cos x - \cos 7x)$

したがって、

$\int \sin 4x \sin 3x \, dx = \int \frac{1}{2} (\cos x - \cos 7x) \, dx = \frac{1}{2} \int (\cos x - \cos 7x) \, dx$

$= \frac{1}{2} \left( \int \cos x \, dx - \int \cos 7x \, dx \right) = \frac{1}{2} \left( \sin x - \frac{1}{7} \sin 7x \right) + C$

$= \frac{1}{2} \sin x - \frac{1}{14} \sin 7x + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \sin x - \frac{1}{14} \sin 7x + C$

## (5) の問題

1. 問題の内容

$\int \cos 3x \sin 2x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

積和の公式 $\cos A \sin B = \frac{1}{2} (\sin(A+B) - \sin(A-B))$ を用います。

$\cos 3x \sin 2x = \frac{1}{2} (\sin (3x+2x) - \sin (3x-2x)) = \frac{1}{2} (\sin 5x - \sin x)$

したがって、

$\int \cos 3x \sin 2x \, dx = \int \frac{1}{2} (\sin 5x - \sin x) \, dx = \frac{1}{2} \int (\sin 5x - \sin x) \, dx$

$= \frac{1}{2} \left( \int \sin 5x \, dx - \int \sin x \, dx \right) = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{5} \cos 5x + \cos x \right) + C$

$= -\frac{1}{10} \cos 5x + \frac{1}{2} \cos x + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{10} \cos 5x + \frac{1}{2} \cos x + C$