与えられた式を簡略化することを目的とする問題です。式は以下の通りです。 $(n+1) \sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} k^2$

1. 問題の内容

与えられた式を簡略化することを目的とする問題です。式は以下の通りです。

$(n+1) \sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} k^2$

2. 解き方の手順

まず、$\sum_{k=1}^{n-1} k$ と $\sum_{k=1}^{n-1} k^2$ を計算します。

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$

$\sum_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$

これらの結果を与えられた式に代入します。

$(n+1) \sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} k^2 = (n+1) \frac{(n-1)n}{2} - \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$

$=\frac{n(n-1)}{6} [3(n+1) - (2n-1)]$

$=\frac{n(n-1)}{6} [3n + 3 - 2n + 1]$

$=\frac{n(n-1)}{6} [n + 4]$

$=\frac{n(n-1)(n+4)}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n-1)(n+4)}{6}$