2次関数 $y = x^2 - 4x + 1$ の定義域 $-2 < x \le 1$ における値域を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 4x + 1$ の定義域 $-2 < x \le 1$ における値域を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

\begin{align*}

y &= x^2 - 4x + 1 \\

&= (x^2 - 4x + 4) - 4 + 1 \\

&= (x-2)^2 - 3

\end{align*}

これにより、頂点の座標が $(2, -3)$ であることが分かります。

また、定義域 $-2 < x \le 1$ と頂点のx座標 $x = 2$ の位置関係を考慮すると、定義域内で$x$が大きくなるほど、$y$の値は大きくなることがわかります。

定義域の左端 $x = -2$ のとき、

$y = (-2)^2 - 4(-2) + 1 = 4 + 8 + 1 = 13$

定義域の右端 $x = 1$ のとき、

$y = (1)^2 - 4(1) + 1 = 1 - 4 + 1 = -2$

頂点のy座標は $y = -3$ ですが、$x = 2$ は定義域に含まれないので、$y = -3$ が最小値とは限りません。

定義域は $-2 < x \le 1$ であるため、$x = -2$ は含まれません。したがって、$y = 13$ も含まれません。

$x=1$ は含まれるため、$y = -2$ は含まれます。

グラフの軸 $x = 2$ が定義域に含まれないので、定義域において $x$ が大きくなるほど $y$ の値は減少します。

$x$ が $-2$ に近づくとき、$y$ は $13$ に近づきます。

よって、$y$ の範囲は $-2 \le y < 13$ となります。

3. 最終的な答え

$-2 \le y < 13$