数列 $1^2 \cdot n, 2^2(n-1), 3^2(n-2), \dots, (n-1)^2 \cdot 2, n^2 \cdot 1$ の和を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $1^2 \cdot n, 2^2(n-1), 3^2(n-2), \dots, (n-1)^2 \cdot 2, n^2 \cdot 1$ の和を求める問題です。

2. 解き方の手順

一般項を $a_k = k^2 (n-k+1)$ と表し、$\sum_{k=1}^n a_k$ を計算します。

まず、一般項を整理します。

$a_k = k^2(n-k+1) = k^2n - k^3 + k^2$

$\sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n (k^2n - k^3 + k^2)$

$= n \sum_{k=1}^n k^2 - \sum_{k=1}^n k^3 + \sum_{k=1}^n k^2$

$= (n+1) \sum_{k=1}^n k^2 - \sum_{k=1}^n k^3$

ここで、$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ と $\sum_{k=1}^n k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$ を用います。

$\sum_{k=1}^n a_k = (n+1) \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$

$= \frac{n(n+1)}{6} [(n+1)(2n+1) - \frac{3}{2} n(n+1)]$

$= \frac{n(n+1)}{6} [2n^2+3n+1 - \frac{3}{2}n^2 - \frac{3}{2}n]$

$= \frac{n(n+1)}{6} [\frac{1}{2}n^2 + \frac{3}{2}n + 1]$

$= \frac{n(n+1)}{12} [n^2 + 3n + 2]$

$= \frac{n(n+1)}{12} (n+1)(n+2)$

$= \frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}$