与えられた数列 $1 \cdot (n+1), 2 \cdot n, 3 \cdot (n-1), \dots, (n-1) \cdot 3, n \cdot 2$ の和を求める。

1. 問題の内容

与えられた数列 $1 \cdot (n+1), 2 \cdot n, 3 \cdot (n-1), \dots, (n-1) \cdot 3, n \cdot 2$ の和を求める。

2. 解き方の手順

まず、数列の一般項を求める。第 $k$ 項は $k \cdot (n+2-k)$ で表される。したがって、求める和は次のようになる。

$S = \sum_{k=1}^{n} k(n+2-k)$

この式を展開し、$\sum$の性質を利用して計算する。

$S = \sum_{k=1}^{n} (k(n+2) - k^2) = (n+2)\sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} k^2$

ここで、$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ と $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ を用いる。

$S = (n+2) \frac{n(n+1)}{2} - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$S = \frac{n(n+1)}{6} [3(n+2) - (2n+1)]$

$S = \frac{n(n+1)}{6} [3n + 6 - 2n - 1]$

$S = \frac{n(n+1)}{6} (n+5)$

$S = \frac{n(n+1)(n+5)}{6}$

3. 最終的な答え

数列の和は $\frac{n(n+1)(n+5)}{6}$ である。