与えられた2次不等式を解く問題です。具体的には、以下の4つの不等式を解きます。 (1) $x^2 - 4x + 6 > 0$ (2) $x^2 - 2x + 2 \le 0$ (3) $2x^2 + 4x + 3 < 0$ (4) $2x^2 + 8x + 10 \ge 0$

1. 問題の内容

与えられた2次不等式を解く問題です。具体的には、以下の4つの不等式を解きます。

(1) $x^2 - 4x + 6 > 0$

(2) $x^2 - 2x + 2 \le 0$

(3) $2x^2 + 4x + 3 < 0$

(4) $2x^2 + 8x + 10 \ge 0$

2. 解き方の手順

それぞれの不等式について、平方完成を行い、グラフとx軸の位置関係から解を求めます。

(1) $x^2 - 4x + 6 > 0$

平方完成すると、

$x^2 - 4x + 6 = (x - 2)^2 - 4 + 6 = (x - 2)^2 + 2$

$(x - 2)^2 \ge 0$ より、 $(x - 2)^2 + 2 \ge 2 > 0$

したがって、すべての実数 $x$ で不等式が成立します。

(2) $x^2 - 2x + 2 \le 0$

平方完成すると、

$x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 - 1 + 2 = (x - 1)^2 + 1$

$(x - 1)^2 \ge 0$ より、 $(x - 1)^2 + 1 \ge 1 > 0$

したがって、不等式を満たす実数 $x$ は存在しません。解なし。

(3) $2x^2 + 4x + 3 < 0$

$2x^2 + 4x + 3 = 2(x^2 + 2x) + 3 = 2((x + 1)^2 - 1) + 3 = 2(x + 1)^2 - 2 + 3 = 2(x + 1)^2 + 1$

$2(x + 1)^2 \ge 0$ より、$2(x + 1)^2 + 1 \ge 1 > 0$

したがって、不等式を満たす実数 $x$ は存在しません。解なし。

(4) $2x^2 + 8x + 10 \ge 0$

$2x^2 + 8x + 10 = 2(x^2 + 4x) + 10 = 2((x + 2)^2 - 4) + 10 = 2(x + 2)^2 - 8 + 10 = 2(x + 2)^2 + 2$

$2(x + 2)^2 \ge 0$ より、$2(x + 2)^2 + 2 \ge 2 > 0$

したがって、すべての実数 $x$ で不等式が成立します。

3. 最終的な答え

(1) すべての実数

(2) 解なし

(3) 解なし

(4) すべての実数