不等式 $|a+b| \le |a| + |b|$ が成り立つことを示し、等号が成り立つ条件を求める問題です。 $\left( |a| + |b| \right)^2 - (a+b)^2 = 2(\boxed{8} - \boxed{9}) \ge 0$ となるような選択肢を選び、等号成立条件である $\boxed{10} \ge 0$ となるような選択肢を選びます。

1. 問題の内容

不等式 $|a+b| \le |a| + |b|$ が成り立つことを示し、等号が成り立つ条件を求める問題です。

$\left( |a| + |b| \right)^2 - (a+b)^2 = 2(\boxed{8} - \boxed{9}) \ge 0$ となるような選択肢を選び、等号成立条件である $\boxed{10} \ge 0$ となるような選択肢を選びます。

2. 解き方の手順

まず、$\left(|a| + |b|\right)^2$ と $(a+b)^2$ を展開します。

$\left(|a| + |b|\right)^2 = |a|^2 + 2|a||b| + |b|^2 = a^2 + 2|ab| + b^2$

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

これらの式を問題文の式に代入します。

$\left(|a| + |b|\right)^2 - (a+b)^2 = (a^2 + 2|ab| + b^2) - (a^2 + 2ab + b^2) = 2|ab| - 2ab$

したがって、 $\left(|a| + |b|\right)^2 - (a+b)^2 = 2(|ab| - ab) \ge 0$ となります。

これは $|ab| \ge ab$ であることから成り立ちます。

選択肢の中から $\boxed{8}$ と $\boxed{9}$ に入るものを選ぶと、

$\left(|a| + |b|\right)^2 - (a+b)^2 = 2(\boxed{|ab|} - \boxed{ab}) \ge 0$ なので、

$\boxed{8}$ は $|ab|$ で、選択肢の①。

$\boxed{9}$ は $ab$ で、選択肢の②。

等号が成り立つのは、 $|a+b| = |a| + |b|$ のときです。

これは、$a+b \ge 0$ かつ $a,b$ が同符号のときに成り立ちます。

つまり、$ab \ge 0$ のときです。

選択肢の中から $\boxed{10} \ge 0$ に入るものを選ぶと、$ab \ge 0$ なので、

$\boxed{10}$ は $ab$ で、選択肢の②。

3. 最終的な答え

$\boxed{8}$: ①

$\boxed{9}$: ②

$\boxed{10}$: ②