複素数の分数を有理化する問題です。具体的には、以下の2つの複素数の分数を計算し、選択肢の中から正しい答えを選びます。 (1) $\frac{4+7i}{1-2i}$ (2) $\frac{5-6i}{i}$

1. 問題の内容

複素数の分数を有理化する問題です。具体的には、以下の2つの複素数の分数を計算し、選択肢の中から正しい答えを選びます。

(1) $\frac{4+7i}{1-2i}$

(2) $\frac{5-6i}{i}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{4+7i}{1-2i}$ を有理化します。分母の共役複素数 $1+2i$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{4+7i}{1-2i} = \frac{(4+7i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}$

分子を展開します。

$(4+7i)(1+2i) = 4 + 8i + 7i + 14i^2 = 4 + 15i - 14 = -10 + 15i$

分母を展開します。

$(1-2i)(1+2i) = 1 + 2i - 2i - 4i^2 = 1 + 4 = 5$

したがって、

$\frac{4+7i}{1-2i} = \frac{-10 + 15i}{5} = -2 + 3i$

選択肢より、$-2 + 3i$ は ② です。

(2) $\frac{5-6i}{i}$ を有理化します。分母の共役複素数 $-i$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{5-6i}{i} = \frac{(5-6i)(-i)}{i(-i)}$

分子を展開します。

$(5-6i)(-i) = -5i + 6i^2 = -6 - 5i$

分母を展開します。

$i(-i) = -i^2 = 1$

したがって、

$\frac{5-6i}{i} = -6 - 5i$

選択肢より、$-6 - 5i$ は ③ です。

3. 最終的な答え

(1) ②

(2) ③