与えられた2次関数 $f(x) = ax^2 - 2ax + a^2 - 20$ について、以下の問いに答えます。 (1) $a = -1$ のとき、$y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を求めます。 (2) $a > 0$ のとき、$-2 \le x \le 2$ における $f(x)$ の最大値 $M$ と最小値 $m$ を求め、$M - 2m = 36$ となる $a$ の値を求めます。 (3) $y = f(x)$ のグラフと $x$ 軸の $-2 \le x \le 2$ の部分が共有点を持つとき、$a$ のとり得る値の範囲を求めます。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、順番に回答していきます。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $f(x) = ax^2 - 2ax + a^2 - 20$ について、以下の問いに答えます。

(1) $a = -1$ のとき、$y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を求めます。

(2) $a > 0$ のとき、$-2 \le x \le 2$ における $f(x)$ の最大値 $M$ と最小値 $m$ を求め、$M - 2m = 36$ となる $a$ の値を求めます。

(3) $y = f(x)$ のグラフと $x$ 軸の $-2 \le x \le 2$ の部分が共有点を持つとき、$a$ のとり得る値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

$a = -1$ を $f(x)$ に代入すると、

$f(x) = -x^2 + 2x + 1 - 20 = -x^2 + 2x - 19$

$f(x) = -(x^2 - 2x) - 19 = -(x - 1)^2 + 1 - 19 = -(x - 1)^2 - 18$

したがって、頂点の座標は $(1, -18)$ です。

(2)

$f(x) = ax^2 - 2ax + a^2 - 20 = a(x^2 - 2x) + a^2 - 20 = a(x - 1)^2 - a + a^2 - 20$

軸は $x = 1$ で、$a > 0$ なので、下に凸なグラフです。

定義域 $-2 \le x \le 2$ において、軸 $x = 1$ は定義域内にあります。

$f(1) = -a + a^2 - 20$

$f(-2) = a(-2 - 1)^2 - a + a^2 - 20 = 9a - a + a^2 - 20 = a^2 + 8a - 20$

$f(2) = a(2 - 1)^2 - a + a^2 - 20 = a - a + a^2 - 20 = a^2 - 20$

最小値 $m = f(1) = a^2 - a - 20$

最大値は、$x = -2$ のときか $x = 2$ のときかを比較します。

$f(-2) - f(2) = (a^2 + 8a - 20) - (a^2 - 20) = 8a > 0$ なので、$f(-2) > f(2)$

最大値 $M = f(-2) = a^2 + 8a - 20$

$M - 2m = (a^2 + 8a - 20) - 2(a^2 - a - 20) = a^2 + 8a - 20 - 2a^2 + 2a + 40 = -a^2 + 10a + 20 = 36$

$-a^2 + 10a - 16 = 0$

$a^2 - 10a + 16 = 0$

$(a - 2)(a - 8) = 0$

$a = 2, 8$

$a > 0$ より、$a = 2, 8$

(3)

$f(x) = ax^2 - 2ax + a^2 - 20 = 0$ が $-2 \le x \le 2$ に解を持つ条件を考えます。

$f(x) = a(x - 1)^2 + a^2 - a - 20$

判別式 $D = (-2a)^2 - 4a(a^2 - 20) = 4a^2 - 4a^3 + 80a = -4a(a^2 - a - 20) = -4a(a - 5)(a + 4)$

$D \ge 0$ となるためには、$a(a - 5)(a + 4) \le 0$ である必要があります。

$a > 0$ なので、$(a - 5)(a + 4) \le 0$

$-4 \le a \le 5$

$a > 0$ より、$0 < a \le 5$

さらに、区間 $-2 \le x \le 2$ に解を持つ条件を考えます。

$f(-2) f(2) \le 0$ または $f(x)$ の軸が区間 $[-2, 2]$ に含まれ、$f(x)$ の最小値が 0 以下である必要があります。

$f(-2) = a^2 + 8a - 20$, $f(2) = a^2 - 20$

$f(-2)f(2) = (a^2 + 8a - 20)(a^2 - 20) \le 0$

$a^2 + 8a - 20 = (a + 10)(a - 2)$, $a^2 - 20 = (a - \sqrt{20})(a + \sqrt{20})$

$f(-2)f(2) = (a + 10)(a - 2)(a - 2\sqrt{5})(a + 2\sqrt{5}) \le 0$

$2 \le a \le 2\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $(1, -18)$

(2) $a = 2, 8$

(3) $2 \le a \le 2\sqrt{5}$