頂点の $x$ 座標が2で、2点 $(0, 7)$、$(3, 4)$ を通る放物線の方程式を求め、 $y = x^2 - \text{ア} x + \text{イ}$ の形で答えよ。

1. 問題の内容

頂点の $x$ 座標が2で、2点 $(0, 7)$、$(3, 4)$ を通る放物線の方程式を求め、 $y = x^2 - \text{ア} x + \text{イ}$ の形で答えよ。

2. 解き方の手順

放物線の方程式は、頂点の $x$ 座標が既知なので、$y = (x - p)^2 + q$ の形に変形できる。

頂点の $x$ 座標が 2 であることから、 $y = (x - 2)^2 + q$ と表せる。

この放物線は $(0, 7)$ を通るので、$x = 0$, $y = 7$ を代入すると、

$7 = (0 - 2)^2 + q$

$7 = 4 + q$

$q = 3$

したがって、$y = (x - 2)^2 + 3$

この放物線は $(3, 4)$ を通るので、$x = 3$, $y = 4$ を代入すると、

$4 = (3 - 2)^2 + 3$

$4 = 1 + 3$

$4 = 4$

となり、整合性が取れる。

展開すると、

$y = x^2 - 4x + 4 + 3$

$y = x^2 - 4x + 7$

3. 最終的な答え

$y = x^2 - 4x + 7$