関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx$ が $x=1$ で極値 $2$ をとるとき、以下の問いに答えます。 (1) $a, b$ の値を求めます。 (2) 曲線 $C: y = f(x)$ と直線 $l: y = mx$ が原点以外で接するとき、$m$ の値と接点の座標を求めます。 (3) (2) で求めた直線 $l$ と曲線 $C$ で囲まれた部分の面積を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx$ が $x=1$ で極値 $2$ をとるとき、以下の問いに答えます。

(1) $a, b$ の値を求めます。

(2) 曲線 $C: y = f(x)$ と直線 $l: y = mx$ が原点以外で接するとき、$m$ の値と接点の座標を求めます。

(3) (2) で求めた直線 $l$ と曲線 $C$ で囲まれた部分の面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

$f(x) = x^3 + ax^2 + bx$ より、

$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$

$x=1$ で極値 $2$ をとるので、

$f(1) = 1 + a + b = 2$

$f'(1) = 3 + 2a + b = 0$

これらより、連立方程式を解くと、

$a + b = 1$

$2a + b = -3$

辺々引いて、

$a = -4$

$b = 1 - a = 1 - (-4) = 5$

よって、$a = -4, b = 5$

(2)

$f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x$

$y = f(x)$ と $y = mx$ が接するので、

$x^3 - 4x^2 + 5x = mx$

$x^3 - 4x^2 + (5 - m)x = 0$

$x(x^2 - 4x + (5 - m)) = 0$

原点以外で接するので、$x^2 - 4x + (5 - m) = 0$ が重解を持つ必要があります。

判別式 $D = (-4)^2 - 4(5 - m) = 0$ より、

$16 - 20 + 4m = 0$

$4m = 4$

$m = 1$

このとき、$x^2 - 4x + 4 = 0$ より、

$(x - 2)^2 = 0$

$x = 2$

接点の座標は $(2, f(2)) = (2, 2^3 - 4(2^2) + 5(2)) = (2, 8 - 16 + 10) = (2, 2)$

よって、$m = 1$、接点の座標は $(2, 2)$

(3)

直線 $y = x$ と曲線 $y = x^3 - 4x^2 + 5x$ で囲まれた部分の面積は、

$\int_0^2 |x - (x^3 - 4x^2 + 5x)| dx = \int_0^2 | -x^3 + 4x^2 - 4x| dx = \int_0^2 |-x(x^2 - 4x + 4)| dx = \int_0^2 | -x(x - 2)^2 | dx = \int_0^2 x(x - 2)^2 dx$

$\int_0^2 x(x^2 - 4x + 4) dx = \int_0^2 (x^3 - 4x^2 + 4x) dx = [\frac{1}{4}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + 2x^2]_0^2 = \frac{1}{4}(16) - \frac{4}{3}(8) + 2(4) = 4 - \frac{32}{3} + 8 = 12 - \frac{32}{3} = \frac{36 - 32}{3} = \frac{4}{3}$

よって、面積は $\frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $a = -4, b = 5$

(2) $m = 1$, 接点の座標 $(2, 2)$

(3) $\frac{4}{3}$