与えられた4つの式をそれぞれ因数分解する問題です。 (1) $2ax^2 - 8a$ (2) $ax^2 + by^2 - ay^2 - bx^2$ (3) $(x - 4)(3x + 1) + 10$ (4) $2n^3 + 3n^2 + n$

1. 問題の内容

与えられた4つの式をそれぞれ因数分解する問題です。

(1) $2ax^2 - 8a$

(2) $ax^2 + by^2 - ay^2 - bx^2$

(3) $(x - 4)(3x + 1) + 10$

(4) $2n^3 + 3n^2 + n$

2. 解き方の手順

(1)

共通因数でくくりだします。

$2ax^2 - 8a = 2a(x^2 - 4)$

$x^2 - 4$ は $x^2 - 2^2$ と変形できるので、二乗の差の公式 $(A^2 - B^2 = (A + B)(A - B))$ を適用できます。

$2a(x^2 - 4) = 2a(x + 2)(x - 2)$

(2)

与えられた式を整理し、共通因数でくくりだします。

$ax^2 + by^2 - ay^2 - bx^2 = ax^2 - bx^2 + by^2 - ay^2$

$= x^2(a - b) - y^2(a - b)$

$= (a - b)(x^2 - y^2)$

$x^2 - y^2$ は二乗の差の公式から $(x + y)(x - y)$ と因数分解できます。

したがって、

$(a - b)(x^2 - y^2) = (a - b)(x + y)(x - y)$

(3)

与えられた式を展開し、整理して因数分解します。

$(x - 4)(3x + 1) + 10 = 3x^2 + x - 12x - 4 + 10$

$= 3x^2 - 11x + 6$

たすき掛けを利用して因数分解します。

$3x^2 - 11x + 6 = (3x - 2)(x - 3)$

(4)

共通因数でくくりだします。

$2n^3 + 3n^2 + n = n(2n^2 + 3n + 1)$

$2n^2 + 3n + 1$ をたすき掛けを用いて因数分解します。

$2n^2 + 3n + 1 = (2n + 1)(n + 1)$

したがって、

$n(2n^2 + 3n + 1) = n(2n + 1)(n + 1)$

3. 最終的な答え

(1) $2a(x + 2)(x - 2)$

(2) $(a - b)(x + y)(x - y)$

(3) $(3x - 2)(x - 3)$

(4) $n(2n + 1)(n + 1)$