問題7は、(1) $(x^2+1)^2$ を展開すること、(2) (1)の結果を利用して $x^4+x^2+1$ を因数分解すること、を求める問題です。

1. 問題の内容

問題7は、(1) $(x^2+1)^2$ を展開すること、(2) (1)の結果を利用して $x^4+x^2+1$ を因数分解すること、を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $(x^2+1)^2$を展開します。二項の平方の公式 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ を用います。

この場合、$a=x^2$、$b=1$ です。

$(x^2+1)^2 = (x^2)^2 + 2(x^2)(1) + 1^2 = x^4 + 2x^2 + 1$

(2) $x^4+x^2+1$を因数分解します。(1)で求めた$(x^2+1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1$を利用します。

$x^4+x^2+1$を $(x^2+1)^2$ に近い形に変形するために、$x^2$ を足して引きます。

$x^4+x^2+1 = x^4 + 2x^2 + 1 - x^2 = (x^2+1)^2 - x^2$

ここで、$A^2-B^2=(A+B)(A-B)$の因数分解の公式を用います。$A=x^2+1$、$B=x$とすると、

$(x^2+1)^2 - x^2 = (x^2+1+x)(x^2+1-x) = (x^2+x+1)(x^2-x+1)$

3. 最終的な答え

(1) $(x^2+1)^2 = x^4+2x^2+1$

(2) $x^4+x^2+1 = (x^2+x+1)(x^2-x+1)$