媒介変数 $t$ を用いて $x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$, $y = \frac{4t}{1+t^2}$ と表される曲線が、$xy$ 平面上でどのような曲線を表すかを求め、図示する問題です。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ を用いて $x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$, $y = \frac{4t}{1+t^2}$ と表される曲線が、$xy$ 平面上でどのような曲線を表すかを求め、図示する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ の式から $t$ を消去することを考えます。

$x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

$y = \frac{4t}{1+t^2}$

これらの式から $x^2 + (\frac{y}{2})^2$ を計算してみます。

$x^2 = (\frac{1-t^2}{1+t^2})^2 = \frac{(1-t^2)^2}{(1+t^2)^2} = \frac{1 - 2t^2 + t^4}{1 + 2t^2 + t^4}$

$(\frac{y}{2})^2 = (\frac{2t}{1+t^2})^2 = \frac{4t^2}{(1+t^2)^2} = \frac{4t^2}{1 + 2t^2 + t^4}$

$x^2 + (\frac{y}{2})^2 = \frac{1 - 2t^2 + t^4}{1 + 2t^2 + t^4} + \frac{4t^2}{1 + 2t^2 + t^4} = \frac{1 + 2t^2 + t^4}{1 + 2t^2 + t^4} = 1$

したがって、$x^2 + (\frac{y}{2})^2 = 1$ が得られます。

これは楕円の方程式 $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$ と同じです。

つまり、$a = 1$, $b = 2$ の楕円です。

中心は原点 $(0, 0)$ で、x軸方向に半径1、y軸方向に半径2の楕円を表します。

次に、媒介変数の値と $x, y$ の値の関係を確認します。

$t$ が $-\infty$ から $\infty$ まで変化するとき、$x$ は $x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ より -1 から 1 まで変化し、$y$ は $y = \frac{4t}{1+t^2}$ より負の無限小から正の無限小へ変化し、再び正の無限小から負の無限小へ変化します。

しかし、$t$ が任意の実数値をとるとき、 $x^2 + (\frac{y}{2})^2 = 1$ の関係式は常に満たされます。

$y = \frac{4t}{1+t^2}$ は、 $t = 0$ のとき $y = 0$ であり、$t \to \infty$ のとき $y \to 0$ となります。

$x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$

$x^2 + \frac{y^2}{2^2} = 1$

3. 最終的な答え

$x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$ で表される楕円。

中心は原点 $(0, 0)$ で、x軸方向に半径1、y軸方向に半径2の楕円。