媒介変数 $t$ を用いて $x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ および $y = \frac{4t}{1+t^2}$ と表される曲線が、$xy$ 平面上にどのような曲線を描くかを求め、図示します。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ を用いて $x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ および $y = \frac{4t}{1+t^2}$ と表される曲線が、$xy$ 平面上にどのような曲線を描くかを求め、図示します。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ の式から $t$ を消去することを考えます。$x^2$ と $y^2$ を計算し、それらの和を求めます。

$x^2 = \left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)^2 = \frac{1 - 2t^2 + t^4}{(1+t^2)^2}$

$y^2 = \left(\frac{4t}{1+t^2}\right)^2 = \frac{16t^2}{(1+t^2)^2}$

したがって、

$x^2 + y^2 = \frac{1 - 2t^2 + t^4 + 16t^2}{(1+t^2)^2} = \frac{1 + 14t^2 + t^4}{(1+t^2)^2}$

このままでは簡単になりません。別の方法として、$x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ より、$x+1 = \frac{1-t^2}{1+t^2} + 1 = \frac{1-t^2+1+t^2}{1+t^2} = \frac{2}{1+t^2}$。

また、$y = \frac{4t}{1+t^2}$。

ここで、$y^2 = \frac{16t^2}{(1+t^2)^2}$ と、$x+1 = \frac{2}{1+t^2}$ より、$y^2 = \frac{16t^2}{\left(\frac{2}{x+1}\right)^2} = 16t^2\left(\frac{(x+1)^2}{4}\right) = 4t^2(x+1)^2$ なので、$t^2 = \frac{y^2}{4(x+1)^2}$

これを $x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ に代入すると、

$x = \frac{1-\frac{y^2}{4(x+1)^2}}{1+\frac{y^2}{4(x+1)^2}} = \frac{4(x+1)^2 - y^2}{4(x+1)^2 + y^2}$

$x[4(x+1)^2 + y^2] = 4(x+1)^2 - y^2$

$4x(x^2+2x+1) + xy^2 = 4(x^2+2x+1) - y^2$

$4x^3 + 8x^2 + 4x + xy^2 = 4x^2 + 8x + 4 - y^2$

$4x^3 + 4x^2 - 4x - 4 + xy^2 + y^2 = 0$

$4(x^3 + x^2 - x - 1) + (x+1)y^2 = 0$

$4(x+1)(x^2 - 1) + (x+1)y^2 = 0$

$4(x+1)(x-1)(x+1) + (x+1)y^2 = 0$

$(x+1)[4(x-1)(x+1) + y^2] = 0$

$(x+1)[4(x^2-1) + y^2] = 0$

$(x+1)[4x^2 - 4 + y^2] = 0$

したがって、$x=-1$ または $4x^2 + y^2 = 4$

$x = -1$ のとき、$y = \frac{4t}{1+t^2}$ より、$t$ は任意の値を取れるので、$x=-1$ 上のすべての点を表すわけではない。

実際、$x = -1$ を満たす $t$ は存在しない。

よって、$4x^2 + y^2 = 4$ となり、$\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{4} = 1$ という楕円を表す。

この楕円は、$x = \cos\theta$, $y = 2\sin\theta$ と表される。

$x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$, $y = \frac{4t}{1+t^2}$ であるから、$x=1$, $y=0$ は除く。

$x=1, y=0$ のとき、 $t=0$ となる。

したがって、楕円 $\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{4} = 1$ のうち、点 $(1, 0)$ を除く。

3. 最終的な答え

楕円 $\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{4} = 1$ ただし、$(1, 0)$ を除く。