媒介変数 $t$ で表された $x$ と $y$ の式が与えられています。 $x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ $y = \frac{4t}{1+t^2}$ この式が $xy$ 平面上にどのような曲線を描くか調べ、図示します。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ で表された $x$ と $y$ の式が与えられています。

$x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

$y = \frac{4t}{1+t^2}$

この式が $xy$ 平面上にどのような曲線を描くか調べ、図示します。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + y^2$ を計算します。

$x^2 = \left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)^2 = \frac{1 - 2t^2 + t^4}{(1+t^2)^2}$

$y^2 = \left(\frac{4t}{1+t^2}\right)^2 = \frac{16t^2}{(1+t^2)^2}$

したがって、

$x^2 + y^2 = \frac{1 - 2t^2 + t^4 + 16t^2}{(1+t^2)^2} = \frac{1 + 14t^2 + t^4}{(1+t^2)^2}$

これは円の方程式にはなりません。しかし、元の式をよく見ると、

$x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

$y = \frac{4t}{1+t^2}$

から $x^2+y^2$ を計算し直します。

$x^2+y^2 = \left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)^2 + \left(\frac{4t}{1+t^2}\right)^2 = \frac{(1-t^2)^2 + (4t)^2}{(1+t^2)^2} = \frac{1-2t^2+t^4+16t^2}{(1+t^2)^2} = \frac{t^4 + 14t^2 + 1}{(t^2+1)^2}$

これはうまくいきません。

しかし、$y = \frac{2(2t)}{1+t^2}$で、 $x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ の形から円を考えます。

$x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

$y = \frac{4t}{1+t^2}$

とおくと、

$x^2+y^2 = \left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)^2 + \left(\frac{4t}{1+t^2}\right)^2 = \frac{(1-t^2)^2+(4t)^2}{(1+t^2)^2} = \frac{1-2t^2+t^4+16t^2}{(1+t^2)^2} = \frac{1+14t^2+t^4}{1+2t^2+t^4}$

うまくいきません。

$t=\tan\theta$ とおくと、

$x = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \cos 2\theta$

$y = \frac{4 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{4 \sin \theta}{\cos \theta} \cdot \cos^2 \theta = 4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin 2\theta$

したがって、$x = \cos 2\theta$ かつ $y = 2 \sin 2\theta$ です。

$x^2 = \cos^2 2\theta$

$y^2 = 4 \sin^2 2\theta$

$\frac{y^2}{4} = \sin^2 2\theta$

$x^2 + \frac{y^2}{4} = \cos^2 2\theta + \sin^2 2\theta = 1$

これは楕円の方程式です。

3. 最終的な答え

$\frac{x^2}{1^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1$

これは、$x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$ という楕円を表します。

$xy$平面上で、楕円 $\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{4} = 1$