問題は、$x = \frac{1 - \tan^2{\theta}}{1 + \tan^2{\theta}}$ が $x = \cos{2\theta}$ と等しいことを示す（または確認する）ことです。

1. 問題の内容

問題は、$x = \frac{1 - \tan^2{\theta}}{1 + \tan^2{\theta}}$ が $x = \cos{2\theta}$ と等しいことを示す（または確認する）ことです。

2. 解き方の手順

まず、$\tan{\theta} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$ であることを利用して、与えられた式を変形します。

$x = \frac{1 - \tan^2{\theta}}{1 + \tan^2{\theta}} = \frac{1 - \frac{\sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta}}}{1 + \frac{\sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta}}}$

次に、分子と分母に $\cos^2{\theta}$ を掛けます。

$x = \frac{\cos^2{\theta} - \sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta} + \sin^2{\theta}}$

三角関数の恒等式 $\cos^2{\theta} + \sin^2{\theta} = 1$ を用いると、

$x = \frac{\cos^2{\theta} - \sin^2{\theta}}{1} = \cos^2{\theta} - \sin^2{\theta}$

三角関数の2倍角の公式 $\cos{2\theta} = \cos^2{\theta} - \sin^2{\theta}$ を用いると、

$x = \cos{2\theta}$

3. 最終的な答え

$x = \cos{2\theta}$