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$\alpha$ と $\beta$ が実数のとき、三角不等式 $|\alpha + \beta| \leq |\alpha| + |\beta|$ を証明せよ。

解析学三角不等式絶対値不等式
2025/4/14

1. 問題の内容

α\alpha と β\beta が実数のとき、三角不等式 ∣α+β∣≤∣α∣+∣β∣|\alpha + \beta| \leq |\alpha| + |\beta| を証明せよ。

2. 解き方の手順

三角不等式を証明するために、以下の事実を利用します。
* −∣α∣≤α≤∣α∣-|\alpha| \leq \alpha \leq |\alpha|
* −∣β∣≤β≤∣β∣-|\beta| \leq \beta \leq |\beta|
これらの不等式を足し合わせると、
−∣α∣−∣β∣≤α+β≤∣α∣+∣β∣-|\alpha| - |\beta| \leq \alpha + \beta \leq |\alpha| + |\beta|
これは、
−(∣α∣+∣β∣)≤α+β≤∣α∣+∣β∣-(|\alpha| + |\beta|) \leq \alpha + \beta \leq |\alpha| + |\beta|
と書けます。この不等式は、
∣α+β∣≤∣α∣+∣β∣|\alpha + \beta| \leq |\alpha| + |\beta|
を意味します。なぜなら、∣α+β∣|\alpha + \beta| は α+β\alpha + \beta の絶対値であり、これは α+β\alpha + \beta と −(α+β)-(\alpha + \beta) のうち大きい方だからです。α+β\alpha + \beta も −(α+β)-(\alpha + \beta) も ∣α∣+∣β∣|\alpha| + |\beta| 以下であるので、 ∣α+β∣|\alpha + \beta| も ∣α∣+∣β∣|\alpha| + |\beta| 以下になります。

3. 最終的な答え

したがって、三角不等式 ∣α+β∣≤∣α∣+∣β∣|\alpha + \beta| \leq |\alpha| + |\beta| が証明されました。

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