与えられた2つのベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ に対して、以下の値を求めます。 * 内積 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ * $\mathbf{a}$ の大きさ $|\mathbf{a}|$ * $\mathbf{b}$ の大きさ $|\mathbf{b}|$ * $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ のなす角 $\theta$ の余弦 $\cos \theta$ * $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ を二辺とする平行四辺形の面積 $S$ この問題を(1)から(4)まで解きます。

1. 問題の内容

与えられた2つのベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ に対して、以下の値を求めます。

* 内積 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$

* $\mathbf{a}$ の大きさ $|\mathbf{a}|$

* $\mathbf{b}$ の大きさ $|\mathbf{b}|$

* $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ のなす角 $\theta$ の余弦 $\cos \theta$

* $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ を二辺とする平行四辺形の面積 $S$

この問題を(1)から(4)まで解きます。

2. 解き方の手順

各設問について、以下の手順で計算を行います。

* 内積 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$:

$\mathbf{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}$, $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}$ のとき、$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$

* ベクトルの大きさ:

$|\mathbf{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$

$|\mathbf{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}$

* $\cos \theta$:

$\cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$

* 平行四辺形の面積 $S$:

$S = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin \theta = |\mathbf{a} \times \mathbf{b}|$。今回は $\sin \theta$ を直接求めずに、$S = \sqrt{|\mathbf{a}|^2 |\mathbf{b}|^2 - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2}$ で求めます。

(1) $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$

* $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (2)(3) + (-1)(2) = 6 - 2 = 4$

* $|\mathbf{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

* $|\mathbf{b}| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$

* $\cos \theta = \frac{4}{\sqrt{5} \sqrt{13}} = \frac{4}{\sqrt{65}}$

* $S = \sqrt{(\sqrt{5})^2 (\sqrt{13})^2 - (4)^2} = \sqrt{5 \cdot 13 - 16} = \sqrt{65 - 16} = \sqrt{49} = 7$

(2) $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}$, $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

* $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (-2)(3) + (4)(1) = -6 + 4 = -2$

* $|\mathbf{a}| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

* $|\mathbf{b}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$

* $\cos \theta = \frac{-2}{\sqrt{20} \sqrt{10}} = \frac{-2}{\sqrt{200}} = \frac{-2}{10\sqrt{2}} = \frac{-1}{5\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{10}$

* $S = \sqrt{(2\sqrt{5})^2 (\sqrt{10})^2 - (-2)^2} = \sqrt{20 \cdot 10 - 4} = \sqrt{200 - 4} = \sqrt{196} = 14$

(3) $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$, $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix}$

* $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (-3)(2) + (1)(-4) + (4)(3) = -6 - 4 + 12 = 2$

* $|\mathbf{a}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 1 + 16} = \sqrt{26}$

* $|\mathbf{b}| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 16 + 9} = \sqrt{29}$

* $\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{26} \sqrt{29}} = \frac{2}{\sqrt{754}}$

* $S = \sqrt{(\sqrt{26})^2 (\sqrt{29})^2 - (2)^2} = \sqrt{26 \cdot 29 - 4} = \sqrt{754 - 4} = \sqrt{750} = 5\sqrt{30}$

(4) $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3\sqrt{2} \\ 4 \end{pmatrix}$, $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2\sqrt{2} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

* $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (-1)(2\sqrt{2}) + (3\sqrt{2})(1) + (4)(0) = -2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 0 = \sqrt{2}$

* $|\mathbf{a}| = \sqrt{(-1)^2 + (3\sqrt{2})^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 18 + 16} = \sqrt{35}$

* $|\mathbf{b}| = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{8 + 1 + 0} = \sqrt{9} = 3$

* $\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{35} \cdot 3} = \frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{35}} = \frac{\sqrt{70}}{105}$

* $S = \sqrt{(\sqrt{35})^2 (3)^2 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{35 \cdot 9 - 2} = \sqrt{315 - 2} = \sqrt{313}$

3. 最終的な答え

(1) $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 4$, $|\mathbf{a}| = \sqrt{5}$, $|\mathbf{b}| = \sqrt{13}$, $\cos \theta = \frac{4}{\sqrt{65}}$, $S = 7$

(2) $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -2$, $|\mathbf{a}| = 2\sqrt{5}$, $|\mathbf{b}| = \sqrt{10}$, $\cos \theta = -\frac{\sqrt{2}}{10}$, $S = 14$

(3) $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2$, $|\mathbf{a}| = \sqrt{26}$, $|\mathbf{b}| = \sqrt{29}$, $\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{754}}$, $S = 5\sqrt{30}$

(4) $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sqrt{2}$, $|\mathbf{a}| = \sqrt{35}$, $|\mathbf{b}| = 3$, $\cos \theta = \frac{\sqrt{70}}{105}$, $S = \sqrt{313}$