媒介変数 $t$ で表された曲線 $x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, y = \frac{4t}{1+t^2}$ について、$t = \tan{\theta}$ とおいたとき、$xy$ 平面上でどのような曲線を表すかを求める問題です。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ で表された曲線 $x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, y = \frac{4t}{1+t^2}$ について、$t = \tan{\theta}$ とおいたとき、$xy$ 平面上でどのような曲線を表すかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$t = \tan{\theta}$ を与えられた式に代入します。

$x = \frac{1-\tan^2{\theta}}{1+\tan^2{\theta}}, y = \frac{4\tan{\theta}}{1+\tan^2{\theta}}$

ここで三角関数の公式を利用します。

$\cos{2\theta} = \frac{1-\tan^2{\theta}}{1+\tan^2{\theta}}$

$\sin{2\theta} = \frac{2\tan{\theta}}{1+\tan^2{\theta}}$

上記の公式を用いると

$x = \cos{2\theta}$

$y = 2\sin{2\theta}$

となります。

次に、$x$ と $y$ の関係を求めます。

$x^2 + (\frac{y}{2})^2 = (\cos{2\theta})^2 + (\sin{2\theta})^2 = 1$

$\frac{y^2}{4} = 1 - x^2$

$y^2 = 4 - 4x^2$

$4x^2 + y^2 = 4$

$\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{4} = 1$

これは楕円の方程式です。

ただし、$t = \tan{\theta}$ より、$t$ はすべての実数をとれるので、$\theta$ もすべての実数をとれます。

$x = \cos{2\theta}$ は $-1 \leq x \leq 1$ の範囲、$y = 2\sin{2\theta}$ は $-2 \leq y \leq 2$ の範囲を動きます。

3. 最終的な答え

与えられた媒介変数表示は、楕円 $\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{4} = 1$ を表します。