2つのベクトル $a$ と $b$ が与えられたとき、以下の値を計算し、これらのベクトルを二辺とする平行四辺形の面積 $S$ を求める問題です。 * $a \cdot b$ （ベクトルの内積） * $|a|$ （ベクトル $a$ の大きさ） * $|b|$ （ベクトル $b$ の大きさ） * $\cos \theta$ （ベクトル $a$ と $b$ のなす角のコサイン） * $a \times b$　（ベクトル $a$ と $b$ の外積。2次元の場合、スカラー値として計算します。） * $S$ （平行四辺形の面積）

1. 問題の内容

2つのベクトル $a$ と $b$ が与えられたとき、以下の値を計算し、これらのベクトルを二辺とする平行四辺形の面積 $S$ を求める問題です。

* $a \cdot b$ （ベクトルの内積）

* $|a|$ （ベクトル $a$ の大きさ）

* $|b|$ （ベクトル $b$ の大きさ）

* $\cos \theta$ （ベクトル $a$ と $b$ のなす角のコサイン）

* $a \times b$　（ベクトル $a$ と $b$ の外積。2次元の場合、スカラー値として計算します。）

* $S$ （平行四辺形の面積）

2. 解き方の手順

各問題について、以下の手順で計算します。

(1) $a \cdot b$ （内積）：$a \cdot b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ (3次元の場合)

(2) $|a|$ （大きさ）：$|a| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$

(3) $|b|$ （大きさ）：$|b| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}$

(4) $\cos \theta$：$\cos \theta = \frac{a \cdot b}{|a||b|}$

(5) $a \times b$：２次元ベクトルの外積のスカラー値は、$a_1b_2 - a_2b_1$で計算します。3次元ベクトルの場合はベクトルですが、問題文よりa×bは面積を求めていると思われるので、２次元ベクトルの外積のスカラー値の絶対値を面積として扱います。

(6) $S$ （平行四辺形の面積）：$S = |a \times b|$

それでは、各問題について計算していきます。

(1) $a = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}, b = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$

* $a \cdot b = (2)(3) + (-1)(2) = 6 - 2 = 4$

* $|a| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

* $|b| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$

* $\cos \theta = \frac{4}{\sqrt{5}\sqrt{13}} = \frac{4}{\sqrt{65}}$

* $a \times b = (2)(2) - (-1)(3) = 4 + 3 = 7$

* $S = |7| = 7$

(2) $a = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}, b = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

* $a \cdot b = (-2)(3) + (4)(1) = -6 + 4 = -2$

* $|a| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

* $|b| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$

* $\cos \theta = \frac{-2}{2\sqrt{5}\sqrt{10}} = \frac{-1}{\sqrt{50}} = \frac{-1}{5\sqrt{2}}$

* $a \times b = (-2)(1) - (4)(3) = -2 - 12 = -14$

* $S = |-14| = 14$

(3) $a = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}, b = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix}$

* $a \cdot b = (-3)(2) + (1)(-4) + (4)(3) = -6 - 4 + 12 = 2$

* $|a| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 1 + 16} = \sqrt{26}$

* $|b| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 16 + 9} = \sqrt{29}$

* $\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{26}\sqrt{29}} = \frac{2}{\sqrt{754}}$

* $a \times b = (1*3 - 4*-4, 4*2 - -3*3, -3*-4 - 1*2) = (3+16, 8+9, 12-2) = (19, 17, 10)$

* $S = |a \times b| = \sqrt{19^2 + 17^2 + 10^2} = \sqrt{361+289+100} = \sqrt{750} = 5\sqrt{30}$

(4) $a = \begin{pmatrix} -1 \\ 3\sqrt{2} \\ 4 \end{pmatrix}, b = \begin{pmatrix} 2\sqrt{2} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

* $a \cdot b = (-1)(2\sqrt{2}) + (3\sqrt{2})(1) + (4)(0) = -2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 0 = \sqrt{2}$

* $|a| = \sqrt{(-1)^2 + (3\sqrt{2})^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 18 + 16} = \sqrt{35}$

* $|b| = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{8 + 1 + 0} = \sqrt{9} = 3$

* $\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{35} \cdot 3} = \frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{35}}$

* $a \times b = (3\sqrt{2}*0 - 4*1, 4*2\sqrt{2} - -1*0, -1*1 - 3\sqrt{2}*2\sqrt{2}) = (-4, 8\sqrt{2}, -1-12) = (-4, 8\sqrt{2}, -13)$

* $S = |a \times b| = \sqrt{(-4)^2 + (8\sqrt{2})^2 + (-13)^2} = \sqrt{16 + 128 + 169} = \sqrt{313}$

3. 最終的な答え

(1) $a \cdot b = 4, |a| = \sqrt{5}, |b| = \sqrt{13}, \cos \theta = \frac{4}{\sqrt{65}}, a \times b = 7, S = 7$

(2) $a \cdot b = -2, |a| = 2\sqrt{5}, |b| = \sqrt{10}, \cos \theta = \frac{-1}{5\sqrt{2}}, a \times b = -14, S = 14$

(3) $a \cdot b = 2, |a| = \sqrt{26}, |b| = \sqrt{29}, \cos \theta = \frac{2}{\sqrt{754}}, a \times b = (19, 17, 10), S = 5\sqrt{30}$

(4) $a \cdot b = \sqrt{2}, |a| = \sqrt{35}, |b| = 3, \cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{35}}, a \times b = (-4, 8\sqrt{2}, -13), S = \sqrt{313}$