以下の3つの数列の極限を求めます。 (1) $a_n = (1+\frac{4}{n})^n$ (2) $a_n = \frac{3n+1}{2n}$ (3) $a_n = \frac{2^n + e^n}{2^n - e^n}$

1. 問題の内容

以下の3つの数列の極限を求めます。

(1) $a_n = (1+\frac{4}{n})^n$

(2) $a_n = \frac{3n+1}{2n}$

(3) $a_n = \frac{2^n + e^n}{2^n - e^n}$

2. 解き方の手順

(1) 数列 $a_n = (1+\frac{4}{n})^n$ の極限を求めます。

$x = \frac{n}{4}$ とおくと、$n=4x$ となります。$n \to \infty$ のとき $x \to \infty$ となります。

よって、

$\lim_{n\to\infty} (1+\frac{4}{n})^n = \lim_{x\to\infty} (1+\frac{1}{x})^{4x} = \lim_{x\to\infty} ((1+\frac{1}{x})^x)^4$

$\lim_{x\to\infty} (1+\frac{1}{x})^x = e$ なので、

$\lim_{n\to\infty} (1+\frac{4}{n})^n = e^4$

(2) 数列 $a_n = \frac{3n+1}{2n}$ の極限を求めます。

$a_n = \frac{3n+1}{2n} = \frac{3+\frac{1}{n}}{2}$

$\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \frac{3+\frac{1}{n}}{2} = \frac{3+0}{2} = \frac{3}{2}$

(3) 数列 $a_n = \frac{2^n + e^n}{2^n - e^n}$ の極限を求めます。

$a_n = \frac{2^n + e^n}{2^n - e^n} = \frac{(\frac{2}{e})^n + 1}{(\frac{2}{e})^n - 1}$

ここで、$e \approx 2.718$ なので、$\frac{2}{e} < 1$ である。

したがって、$\lim_{n\to\infty} (\frac{2}{e})^n = 0$

$\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \frac{(\frac{2}{e})^n + 1}{(\frac{2}{e})^n - 1} = \frac{0+1}{0-1} = -1$

3. 最終的な答え

(1) $e^4$

(2) $\frac{3}{2}$

(3) $-1$