整式 $x^{2019} + x^{2020}$ を整式 $x^2 + x + 1$ で割った余りを求める問題です。

1. 問題の内容

整式 $x^{2019} + x^{2020}$ を整式 $x^2 + x + 1$ で割った余りを求める問題です。

2. 解き方の手順

$x^2 + x + 1 = 0$ の解を $\omega$ とすると、$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ が成り立ちます。また、$\omega^3 - 1 = (\omega - 1)(\omega^2 + \omega + 1) = 0$ より、$\omega^3 = 1$ が成り立ちます。ただし、$\omega \neq 1$ であることに注意します。

$x^{2019} + x^{2020}$ を $x^2 + x + 1$ で割った余りを $ax + b$ とおくと、

$x^{2019} + x^{2020} = (x^2 + x + 1)Q(x) + ax + b$

と表せます。ここで、$Q(x)$ は商です。

$x = \omega$ を代入すると、

$\omega^{2019} + \omega^{2020} = (\omega^2 + \omega + 1)Q(\omega) + a\omega + b$

$\omega^{2019} + \omega^{2020} = a\omega + b$

$\omega^{3 \cdot 673} + \omega^{3 \cdot 673 + 1} = a\omega + b$

$(\omega^3)^{673} + (\omega^3)^{673} \cdot \omega = a\omega + b$

$1^{673} + 1^{673} \cdot \omega = a\omega + b$

$1 + \omega = a\omega + b$

したがって、$a = 1$、$b = 1$ となります。

よって、余りは $x + 1$ です。

3. 最終的な答え

$x + 1$