7で割ると2余り、9で割ると6余るような4桁の自然数のうち、最小のものを求める。

1. 問題の内容

7で割ると2余り、9で割ると6余るような4桁の自然数のうち、最小のものを求める。

2. 解き方の手順

求める数を$x$とする。

$x$は7で割ると2余るので、$x = 7k + 2$ (kは整数)と表せる。

$x$は9で割ると6余るので、$x = 9l + 6$ (lは整数)と表せる。

したがって、$7k + 2 = 9l + 6$ となる。

これを変形すると、$7k = 9l + 4$ となる。

$7k = 7l + 2l + 4$より、$7(k-l) = 2l + 4$となる。

$k-l$は整数なので、$2l + 4$は7の倍数でなければならない。

$2l + 4 = 7m$ (mは整数) とおくと、$2l = 7m - 4$となる。

$l = \frac{7m - 4}{2}$

$l = \frac{6m - 4 + m}{2} = 3m - 2 + \frac{m}{2}$

$l$は整数なので、$\frac{m}{2}$も整数でなければならない。

$m = 2n$ (nは整数)とおくと、$l = 3(2n) - 2 + \frac{2n}{2} = 6n - 2 + n = 7n - 2$となる。

$l = 7n - 2$を$x = 9l + 6$に代入すると、$x = 9(7n - 2) + 6 = 63n - 18 + 6 = 63n - 12$となる。

$x = 63n - 12$が4桁の自然数となる最小の$n$を求める。

$1000 \le 63n - 12$

$1012 \le 63n$

$n \ge \frac{1012}{63} \approx 16.06$

したがって、$n = 17$ のとき、$x$は最小となる。

$x = 63(17) - 12 = 1071 - 12 = 1059$

3. 最終的な答え

1059