媒介変数 $t$ で表された関数 $x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$, $y = \frac{4t}{1+t^2}$ について、$t = \tan \theta$ とおいたとき、この関数が $xy$ 平面上にどのような曲線を表すかを求める問題です。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ で表された関数 $x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$, $y = \frac{4t}{1+t^2}$ について、$t = \tan \theta$ とおいたとき、この関数が $xy$ 平面上にどのような曲線を表すかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$t = \tan \theta$ を与えられた式に代入します。

$x = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$

$y = \frac{4 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$

三角関数の公式を利用して、式を整理します。

$\cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$

$\sin 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$

これらの公式を使うと、$x$ と $y$ は次のように表せます。

$x = \cos 2\theta$

$y = 2 \sin 2\theta$

ここで、$x^2$ と $(\frac{y}{2})^2$ を計算します。

$x^2 = \cos^2 2\theta$

$(\frac{y}{2})^2 = (\sin 2\theta)^2 = \sin^2 2\theta$

これらの式を足し合わせます。

$x^2 + (\frac{y}{2})^2 = \cos^2 2\theta + \sin^2 2\theta = 1$

したがって、$x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$ となります。

3. 最終的な答え

与えられた関数は、$xy$ 平面上で楕円 $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$ を表します。