問題は、「2つの奇数の積は、奇数である」という命題が正しいことを証明することです。

数論整数の性質奇数証明
2025/4/14

1. 問題の内容

問題は、「2つの奇数の積は、奇数である」という命題が正しいことを証明することです。

2. 解き方の手順

奇数は 2n+12n+1 (nは整数) の形で表されます。
したがって、2つの奇数を 2a+12a+12b+12b+1 (a, bは整数) とします。
これら2つの奇数の積を計算します。
(2a+1)(2b+1)=4ab+2a+2b+1(2a+1)(2b+1) = 4ab + 2a + 2b + 1
4ab+2a+2b+1=2(2ab+a+b)+14ab + 2a + 2b + 1 = 2(2ab + a + b) + 1
2ab+a+b2ab+a+b は整数なので、2(2ab+a+b)+12(2ab + a + b) + 12×整数+12 \times 整数 + 1 の形になり、奇数となります。

3. 最終的な答え

2つの奇数の積は奇数である。

「数論」の関連問題

$m + n$ が奇数ならば、$m^2 + n^2$ が奇数であることを対偶を用いて証明する問題です。$m+n = 2k+1$ と表せるとき、$m^2 + n^2 = 2(2k^2 + 2k - mn...

整数の性質証明対偶奇数偶数
2025/5/14

自然数 $n$ に対して、$2^n$ が22桁であり、かつ最高位の数字が4である。$\log_{10} 2 = 0.3010$ および $\log_{10} 3 = 0.4771$ を用いて、$n$ ...

指数対数桁数末尾の数字
2025/5/14

$\sqrt{n^2 + 100}$ が整数になるような整数 $n$ はいくつあるかという問題です。

整数平方根整数の性質方程式
2025/5/14

3桁の正の整数があり、その整数の各位の数の和が3の倍数であるとき、その整数は3の倍数となる理由を説明する。

整数の性質倍数合同式
2025/5/14

ユークリッドの互除法を用いて、以下の2つの不定方程式を満たす整数解をそれぞれ1つ求める。 (1) $53x + 37y = 1$ (2) $19x - 43y = 1$

不定方程式ユークリッドの互除法整数解
2025/5/14

自然数全体の集合をN、実数全体の集合をRとする。選択肢の中から正しいものをすべて選ぶ問題です。選択肢は以下の4つです。 a. $\sqrt{2} \in N$ または $\sqrt{2} \notin...

集合実数自然数命題
2025/5/14

ある素数 $n$ について、$n+2$ が素数であるという問題です。具体的に何を求められているかは不明ですが、$n$ の値を特定する、もしくはそのような $n$ が存在するかどうかを検討すると解釈でき...

素数双子素数
2025/5/13

(1) 4で割ると1余り、7で割ると3余る3桁の自然数の中で最大のものを求める。 (2) 11で割ると2余り、13で割ると5余る4桁の自然数の中で最小のものを求める。

合同式剰余最大公約数最小公倍数
2025/5/13

$n$ は自然数とする。$n^2+n+6$ と $n+5$ の最大公約数として考えられる数をすべて求める。

最大公約数整数の性質合同式
2025/5/13

与えられた6つの一次不定方程式について、全ての整数解を求める。

不定方程式ユークリッドの互除法整数解
2025/5/13