問題は、「2つの奇数の積は、奇数である」という命題が正しいことを証明することです。

数論整数の性質奇数証明
2025/4/14

1. 問題の内容

問題は、「2つの奇数の積は、奇数である」という命題が正しいことを証明することです。

2. 解き方の手順

奇数は 2n+12n+1 (nは整数) の形で表されます。
したがって、2つの奇数を 2a+12a+12b+12b+1 (a, bは整数) とします。
これら2つの奇数の積を計算します。
(2a+1)(2b+1)=4ab+2a+2b+1(2a+1)(2b+1) = 4ab + 2a + 2b + 1
4ab+2a+2b+1=2(2ab+a+b)+14ab + 2a + 2b + 1 = 2(2ab + a + b) + 1
2ab+a+b2ab+a+b は整数なので、2(2ab+a+b)+12(2ab + a + b) + 12×整数+12 \times 整数 + 1 の形になり、奇数となります。

3. 最終的な答え

2つの奇数の積は奇数である。

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