媒介変数 $t$ を用いて、$x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$、$y = \frac{4t}{1+t^2}$ と表されるとき、$t = \tan \theta$ とおくと、この媒介変数表示が $xy$ 平面上でどのような曲線を表すか求めよ。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ を用いて、$x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$、$y = \frac{4t}{1+t^2}$ と表されるとき、$t = \tan \theta$ とおくと、この媒介変数表示が $xy$ 平面上でどのような曲線を表すか求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$t = \tan \theta$ を与えられた式に代入します。

$x = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$

$y = \frac{4 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$

三角関数の公式 $1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ と $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を用いて、$x$ と $y$ を整理します。

$x = \frac{1 - \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}}{\frac{1}{\cos^2 \theta}} = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \cos 2\theta$

$y = \frac{4 \frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{\frac{1}{\cos^2 \theta}} = 4 \sin \theta \cos \theta = 2(2 \sin \theta \cos \theta) = 2 \sin 2\theta$

したがって、$x = \cos 2\theta$、$y = 2 \sin 2\theta$ となります。

ここで、$x^2 + (\frac{y}{2})^2$ を計算すると、

$x^2 + (\frac{y}{2})^2 = \cos^2 2\theta + \sin^2 2\theta = 1$

が得られます。

この式は楕円を表しており、その式は $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$ です。

3. 最終的な答え

$x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$ で表される楕円