媒介変数 $t$ で表された $x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ , $y = \frac{4t}{1+t^2}$ について、$t = \tan \theta$ とおいたとき、これらの式が$xy$平面上でどのような曲線を表すかを求める問題です。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ で表された $x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ , $y = \frac{4t}{1+t^2}$ について、$t = \tan \theta$ とおいたとき、これらの式が$xy$平面上でどのような曲線を表すかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$t = \tan \theta$ を与えられた式に代入します。

$x = \frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}$

$y = \frac{4\tan \theta}{1+\tan^2 \theta}$

三角関数の公式を利用して、これらの式を整理します。

$x = \frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta} = \frac{\cos^2 \theta - \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta} = \cos 2\theta$

$y = \frac{4\tan \theta}{1+\tan^2 \theta} = \frac{4\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{\frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}} = 4\sin \theta \cos \theta = 2(2\sin \theta \cos \theta) = 2\sin 2\theta$

したがって、$x = \cos 2\theta$ , $y = 2\sin 2\theta$ となります。

これらの式から$\theta$を消去するために、$x^2$と$\left(\frac{y}{2}\right)^2$を計算し、それらを足し合わせます。

$x^2 = \cos^2 2\theta$

$\left(\frac{y}{2}\right)^2 = \sin^2 2\theta$

$x^2 + \left(\frac{y}{2}\right)^2 = \cos^2 2\theta + \sin^2 2\theta = 1$

これは楕円の方程式です。

$x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$

3. 最終的な答え

$x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$で表される楕円。