問題は2つあります。 (1) 連続する2つの奇数の平方の差は8の倍数であることを示す。 (2) 半径$r$mの円形の土地の周囲に、幅$a$mの道がある。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) 連続する2つの奇数の平方の差は8の倍数であることを示す。

(2) 半径$r$mの円形の土地の周囲に、幅$a$mの道がある。

2. 解き方の手順

(1)

連続する2つの奇数を $2n-1$ と $2n+1$ （$n$は整数）とおきます。

これらの平方の差を計算します。

$(2n+1)^2 - (2n-1)^2 = (4n^2 + 4n + 1) - (4n^2 - 4n + 1) = 8n$

$8n$ は 8 の倍数であるため、連続する2つの奇数の平方の差は8の倍数であることが示されました。

(2)

幅$a$mの道を含めた円の半径は$r+a$ mです。

土地の面積は$\pi r^2$ 平方メートルです。

道を含めた全体の面積は$\pi (r+a)^2$ 平方メートルです。

道の面積は、全体の面積から土地の面積を引いたものです。

道の面積 = $\pi (r+a)^2 - \pi r^2 = \pi (r^2 + 2ar + a^2) - \pi r^2 = \pi (2ar + a^2) = \pi a (2r + a)$

3. 最終的な答え

(1) 連続する2つの奇数の平方の差は $8n$ であり、これは8の倍数です。

(2) 道の面積は $\pi a(2r + a)$ 平方メートルです。