複素数 $z$ について、 $|z - 2i| = 2|z + i|$ を満たす $z$ の軌跡を求める問題です。

1. 問題の内容

複素数 $z$ について、 $|z - 2i| = 2|z + i|$ を満たす $z$ の軌跡を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$z = x + yi$ （$x, y$ は実数）とおきます。

次に、与えられた方程式に代入し、絶対値の定義を用いて $x$ と $y$ の関係式を求めます。

$|z - 2i| = 2|z + i|$ より、

$|x + yi - 2i| = 2|x + yi + i|$

$|x + (y-2)i| = 2|x + (y+1)i|$

絶対値の定義から、

$\sqrt{x^2 + (y-2)^2} = 2\sqrt{x^2 + (y+1)^2}$

両辺を2乗して、

$x^2 + (y-2)^2 = 4(x^2 + (y+1)^2)$

$x^2 + y^2 - 4y + 4 = 4(x^2 + y^2 + 2y + 1)$

$x^2 + y^2 - 4y + 4 = 4x^2 + 4y^2 + 8y + 4$

$0 = 3x^2 + 3y^2 + 12y$

$0 = x^2 + y^2 + 4y$

$x^2 + y^2 + 4y + 4 = 4$

$x^2 + (y+2)^2 = 2^2$

3. 最終的な答え

$z$ の軌跡は、中心 $(0, -2)$、半径 $2$ の円である。

すなわち、$x^2 + (y+2)^2 = 4$