$0 \leq x \leq \pi$ において、$f(x) = 3\sin 2x + a(\sin x + \cos x) + 1$ とする。ただし、$a$ は正の定数である。 (1) $t = \sin x + \cos x$ とおくとき、$f(x)$ を $t$ の式で表せ。 (2) $t$ のとりうる値の範囲を求めよ。 (3) $f(x)$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$0 \leq x \leq \pi$ において、$f(x) = 3\sin 2x + a(\sin x + \cos x) + 1$ とする。ただし、$a$ は正の定数である。

(1) $t = \sin x + \cos x$ とおくとき、$f(x)$ を $t$ の式で表せ。

(2) $t$ のとりうる値の範囲を求めよ。

(3) $f(x)$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$t = \sin x + \cos x$ の両辺を2乗すると、

$t^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2 \sin x \cos x$

したがって、$\sin 2x = 2 \sin x \cos x = t^2 - 1$

よって、$f(x) = 3(t^2 - 1) + at + 1 = 3t^2 + at - 2$

(2)

$t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin (x + \frac{\pi}{4})$

$0 \leq x \leq \pi$ より、$\frac{\pi}{4} \leq x + \frac{\pi}{4} \leq \frac{5\pi}{4}$

したがって、$-\frac{\sqrt{2}}{2} \leq \sin (x + \frac{\pi}{4}) \leq 1$

よって、$-1 \leq \sqrt{2} \sin (x + \frac{\pi}{4}) \leq \sqrt{2}$ より、

$1 \leq t \leq \sqrt{2}$

(3)

$f(x) = 3t^2 + at - 2$

$f(t) = 3(t + \frac{a}{6})^2 - 2 - \frac{a^2}{12}$

$1 \leq t \leq \sqrt{2}$ なので、軸の位置によって場合分けする。

(i) $-\frac{a}{6} < 1$ すなわち $a > -6$ のとき

$a>0$より常に満たされる。このとき、$f(t)$ は $t=1$ または $t = \sqrt{2}$ で最大値をとり、$t = -\frac{a}{6}$で最小値を取る。しかし、$1 \leq t \leq \sqrt{2}$ であるため、$f(t)$は区間内で単調増加である。したがって、$t=1$で最小、$t = \sqrt{2}$ で最大。

最小値：$f(1) = 3 + a - 2 = a + 1$

最大値：$f(\sqrt{2}) = 3(2) + a\sqrt{2} - 2 = 4 + \sqrt{2}a$

(ii) $-\frac{a}{6} > \sqrt{2}$ すなわち $a < -6\sqrt{2}$

$a>0$より常に満たされない。

(iii) $1 \leq -\frac{a}{6} \leq \sqrt{2}$ すなわち $-6\sqrt{2} \leq a \leq -6$

$a>0$より常に満たされない。

したがって、上記(i) のみ考えればよい。

最小値 $a+1$, 最大値 $4 + \sqrt{2}a$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = 3t^2 + at - 2$

(2) $1 \leq t \leq \sqrt{2}$

(3) 最小値：$a+1$、最大値：$4 + \sqrt{2}a$