与えられた関数 $y = x^2 - \frac{6}{x-4}$ を微分し、$dy/dx$ を求める問題です。

解析学微分関数の微分導関数連鎖律分数式
2025/4/14

1. 問題の内容

与えられた関数 y=x26x4y = x^2 - \frac{6}{x-4} を微分し、dy/dxdy/dx を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、y=x26x4y = x^2 - \frac{6}{x-4} を微分します。
y=x26(x4)1y = x^2 - 6(x-4)^{-1} と書き換えることができます。
x2x^2の微分は、2x2xとなります。
6(x4)1-6(x-4)^{-1}の微分は、連鎖律を用いると、
6(1)(x4)21=6(x4)2=6(x4)2-6 \cdot (-1) (x-4)^{-2} \cdot 1 = 6(x-4)^{-2} = \frac{6}{(x-4)^2}となります。
したがって、yyの微分は次のようになります。
dydx=2x+6(x4)2\frac{dy}{dx} = 2x + \frac{6}{(x-4)^2}
通分して整理すると、
dydx=2x(x4)2+6(x4)2=2x(x28x+16)+6(x4)2=2x316x2+32x+6(x4)2\frac{dy}{dx} = \frac{2x(x-4)^2 + 6}{(x-4)^2} = \frac{2x(x^2 - 8x + 16) + 6}{(x-4)^2} = \frac{2x^3 - 16x^2 + 32x + 6}{(x-4)^2}

3. 最終的な答え

dydx=2x316x2+32x+6(x4)2\frac{dy}{dx} = \frac{2x^3 - 16x^2 + 32x + 6}{(x-4)^2}

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