関数 $y = \frac{x-1}{x^2+x+1}$ の微分を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x-1}{x^2+x+1}$ の微分を求める問題です。

2. 解き方の手順

商の微分公式を使います。商の微分公式は、$y=\frac{u}{v}$のとき、$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ となります。

この問題では、$u = x-1$、$v = x^2+x+1$ です。

まず、$u$と$v$の微分を計算します。

$u' = \frac{d}{dx}(x-1) = 1$

$v' = \frac{d}{dx}(x^2+x+1) = 2x+1$

次に、商の微分公式に代入します。

$y' = \frac{1(x^2+x+1) - (x-1)(2x+1)}{(x^2+x+1)^2}$

分子を展開して整理します。

$y' = \frac{x^2+x+1 - (2x^2+x-2x-1)}{(x^2+x+1)^2}$

$y' = \frac{x^2+x+1 - (2x^2-x-1)}{(x^2+x+1)^2}$

$y' = \frac{x^2+x+1 - 2x^2+x+1}{(x^2+x+1)^2}$

$y' = \frac{-x^2+2x+2}{(x^2+x+1)^2}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{-x^2+2x+2}{(x^2+x+1)^2}$